ICCE: Software para el cálculo de indicadores de cambio climático extremo

2.1. Teoría de Valores Extremos para el cálculo de Períodos de Retorno

La Teoría de Valores Extremos ha emergido en los últimos 50 años como una de disciplinas estadísticas más importantes para la ciencia aplicada. Sus técnicas se han esparcido a lo largo de muchos campos. Por ejemplo: las empresas de seguros, asesoramiento de riesgo en el mercado financiero y en la predicción de tráfico en las telecomunicaciones. El análisis estadístico de valores extremos es comúnmente empleado para predecir los períodos de retorno de dichos valores extremos. La característica distintiva del análisis de valores extremos es el objetivo de cuantificar el comportamiento estocástico de un proceso que alcanza valores inusualmente altos, o bajos. El análisis de valores extremos usualmente requiere estimar la probabilidad de eventos que son más extremos que cualquiera que ya haya sido observado.

La Teoría de Valores Extremos se centra en el comportamiento estadístico de $M_n=\left\{X_1,\dots ,X_n\right\}$ , donde $X_1,\dots ,X_n$ es una secuencia de variables aleatorias independientes con una función de distribución común F. En la práctica los $X_i$ usualmente representan mediciones periódicas de un proceso, a fin de que $M_n$ represente el máximo valor del proceso a lo largo de $n$ unidades de tiempo. Si $n$ es el número de observaciones en un año entonces $M_n$ corresponde al máximo anual (Coles,2001Coles, S. (2001). An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values.).

Si bien en la teoría la distribución de $M_n$ puede ser derivada exactamente para cada valor de $n$ como:

En la práctica esto no resulta útil ya que la función de distribución F es desconocida.

El Teorema de Tipos Extremales encapsula el rango de posibles distribuciones límite de

la cual es una normalización lineal de ${\text{M}}_{\text{n}}$ a fin de evitar la degeneración (Coles, 2001Coles, S. (2001). An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values.).

2.2 Análisis de Tendencia: Dócima de Kendall-Mann

El análisis de tendencia de una variable meteorológica es un procedimiento estadístico que, mediante pruebas de hipótesis, explica el cambio de la variable, arroja la tasa de cambio respecto al tiempo, ayuda a identificar regiones y épocas vulnerables a dichos cambios; y ayuda a conocer si el clima está cambiando o se mantiene estable.

Generalmente se utilizan dos métodos no paramétricos para demostrar la posible existencia de tendencia: uno está basado en el coeficiente de correlación de Spearman y el otro es la dócima de Kendall-Mann.

Kendall-Mann es un método estadístico basado en el ranking (número de orden) de dos variables, ampliamente usado en estudios de identificación de tendencias en series de variables meteorológicas en cuanto a si son ascendentes o descendentes, pero no cuantifican estas. Además de tendencias detecta saltos. Como antecedente, se puede señalar que ha sido recomendada por la Organización Meteorológica Mundial para su aplicación en series de variables meteorológicas e hidrológicas.

Las observaciones originales ${\text{x}}_{\text{i}}$ , son reemplazadas por el rango ${\text{m}}_{\text{i}}$ que está dado por la magnitud de la posición que ocupan los valores originales en la serie ordenada de forma creciente. Por cada elemento ${\text{m}}_{\text{i}}$ , se calcula el número de elementos ${\text{n}}_{\text{i}}$ que lo preceden $(\text{i}>j)$ y que cumplan la condición ${\text{m}}_{\text{i}}>{\text{m}}_{\text{j}}$ (Sneyers, 1990Sneyers, R. (1990). On the statistics analysis of series of observations. LA nota técnica 143.) (Roura et al., 2019Roura, P., Sistachs, V., y Arenas, J.C. (2019). TrendSoft: Software para el análisis de tendencia y puntos de cambios de variables climatológicas.).

Luego se calculan:

Y se calculan su valor esperado y varianza:

Con esto se obtiene:

La tendencia puede ser creciente o decreciente según ${\text{KM}}_{\text{i}}$ sea positivo o negativo. Para $i=n$ se tiene la tendencia global, con todos los datos de la serie en cuestión.

Determinándose así la región crítica, que sería:

Si ${\alpha }_1>{\alpha }_0$ se acepta $H_0$ (No hay tendencia significativa).

Si ${\alpha }_1<{\alpha }_0$ se rechaza $H_0$ (Hay tendencia significativa).

La representación gráfica simultanea de los valores de ${\text{KM}}_{\text{i}}$ de las series directa y retrograda en la forma de curvas poligonales se utiliza para ubicar aproximadamente un punto de cambio, que se corresponde cronológicamente con el punto de intersección de ambos gráficos, bajo la existencia de una tendencia global significativa.

La serie retrograda $y_{i^{\prime }}$ asociada de datos ${\text{x}}_{\text{i}}$ es la serie original invertida, donde. Se procede en forma análoga al caso anterior, pero con ordenación decreciente para el cálculo del rango (Sneyers, 1990Sneyers, R. (1990). On the statistics analysis of series of observations. LA nota técnica 143.) (Roura et al., 2019Roura, P., Sistachs, V., y Arenas, J.C. (2019). TrendSoft: Software para el análisis de tendencia y puntos de cambios de variables climatológicas.).

2.3 Dócima de Pettitt para Puntos de Cambio

Dócima de Pettitt es la más común para la detección de puntos de cambio simples en variables con datos continuos. En este caso la hipótesis nula plantea que la serie sigue una o más distribuciones que tienen el mismo parámetro o sea que no existe cambio, contra la hipótesis alternativa que plantea la existencia de un punto de cambio (Roura et al., 2019Roura, P., Sistachs, V., y Arenas, J.C. (2019). TrendSoft: Software para el análisis de tendencia y puntos de cambios de variables climatológicas.) (Pettitt, 1978Pettitt, A.N. (1978). A Non-parametric Approach to the Change-point Problem.) (Pohlert, 2020Pohlert, T. (2020). Non-Parametric Trend Tests and Change-Point Detection.).

El test estadístico no paramétrico se define como:

Donde:

En caso de existir punto de cambio, este se encuentra en $K_T$ . La probabilidad de significación de $K_T$ está dado por ${\alpha }_1$ , que se calcula como:

Si ${\alpha }_1>{\alpha }_0$ se acepta 𝐻 0 (No hay punto de cambio).

Si ${\alpha }_1<{\alpha }_0$ se rechaza 𝐻 0 (Hay punto de cambio).

PASO 1. Entrada de datos

Para el cálculo de los indicadores de extremo el software utiliza datos asociados a la temperatura, como son las temperaturas máximas, mínimas y medias de cada período; y otros asociados a las precipitaciones como son la cantidad de precipitaciones en el período, la lluvia máxima en 24 horas y la cantidad de días con lluvia. También se recogen la fecha de la medición y el identificador de la estación de la cual se toman las muestras. La entrada de los datos al programa ocurre a través de ficheros “.csv” que contienen los datos recogidos por el INSMET a lo largo de los años. Estos ficheros contienen la información en formato diario, mensual y anual (Figura 2).

Aunque el INSMET garantiza la completitud y veracidad de los datos suministrados, se decidió verificar que no existan faltantes en los valores de entrada, pues estos deben ser continuos para poder realizar correctamente el cálculo de los indicadores de extremo. En caso de que sea necesario se da una advertencia al usuario de que un dato debe ser rellenado. Para así garantizar la robustez y buen funcionamiento del software.

PASO 2. Cálculo de los indicadores

Una vez se han cargado los datos se pasa a realizar el cálculo de los indicadores de extremo. Para ello el usuario debe seleccionar los indicadores que desea calcular y el período de tiempo en el cual desea calcularlos, mensual o anual. Cabe destacar que este proceso no requiere que el usuario especifique nada respecto a los datos, pues los ficheros contienen toda la información necesaria y el software la selecciona automáticamente. Por ejemplo, para el indicador de noches tropicales (TR), que son aquellas en que la temperatura mínima es superior a los 20 grados, el programa extrae de los datos la columna de temperaturas mínimas y agrupa los datos según el período en el que el usuario eligió (Figura 3).

Al terminar el proceso de cálculo los resultados se muestran agrupados en una tabla ordenada cronológicamente, donde cada celda contiene el valor del indicador para el mes o año según se halla especificado (Figura 4).

PASO 3. Cálculo de estadígrafos

Se le da al usuario la posibilidad de calcular diversos estadígrafos, como lo son la media, la mediana, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación, entre otros. Esto se hace para brindar al usuario una idea del comportamiento que tienen los datos e indicadores, para facilitar el entendimiento del comportamiento de la información. Para calcular dichos estadígrafos el usuario solo debe seleccionar las variables que desea (Figura 5).

Como resultado se muestra una tabla con los estadígrafos calculados (Figura 6).

PASO 4. Análisis de tendencia

El análisis de tendencia se emplea para determinar si el incremento en los valores de una variable aleatoria es significativo o no. Por ejemplo, si los valores de una variable aleatoria están distribuidos a lo largo de una recta, entonces el análisis de tendencia se basa en si la pendiente de dicha recta se considera pronunciada o no. Por supuesto, para casos no lineales no es tan sencillo determinar la velocidad de incremento, por lo que se emplean métodos más avanzados, basados en pruebas de hipótesis, para determinar si existe tendencia.

Para realizar un análisis de tendencia el usuario debe especificar qué variable o indicador desea analizar, qué método se debe emplear y qué nivel de significación debe ser usado en las pruebas de hipótesis (Figura 7).

Como resultado se muestran los valores calculados durante la ejecución del programa, para que el usuario pueda verificar la ejecución de los mismos, así como la conclusión final de si el indicador seleccionado presenta tendencia o no (Figura 8).

PASO 5. Análisis de punto de cambio

El análisis de puntos de cambio trata de identificar momentos en los cuales la función de distribución de una variable aleatoria, como los indicadores de extremo, cambia. En general el problema yace en detectar si han ocurrido cambios o no y de ser posible identificar el momento en que ocurrió. El principal uso de este análisis es la detección de comportamientos anómalos en las variables aleatorias. Uno de los métodos más usados para la detección de los puntos de cambio es la Dócima de Pettitt.

Al igual que con el análisis de tendencia, para realizar el análisis de punto de cambio el usuario debe especificar qué variable o indicador desea analizar, qué método se debe emplear y qué nivel de significación debe ser usado en las pruebas de hipótesis (Figura 9).

Como resultado se le muestra al usuario los valores calculados, si existe punto de cambio o no, y en caso de que exista se muestra el año en el que se alcanza. Nótese que este análisis se debe realizar a nivel anual debido a que existen marcadas diferencias en los valores de las temperaturas y precipitaciones entre las distintas estaciones del año (Figura 10).

PASO 6. Cálculo de períodos de retorno

Como se explicó anteriormente, el período de retorno es un valor asociado a la probabilidad de ocurrencia de un suceso. Dado un nivel de retorno, que representa el umbral a partir del cual una ocurrencia del suceso se considera relevante, el período de retorno es el tiempo promedio entre dos ocurrencias del suceso que sobrepasan el nivel de retorno.

Al igual que los análisis de tendencia y punto de cambio el usuario debe seleccionar qué variable o indicador desea analizar y especificar si desea realizar un análisis de máximos o mínimos (Figura 11).

Como resultado el usuario obtiene los niveles de retorno para los períodos de 100, 50, 20 y 10 años (Figura 12), así como los parámetros de la Distribución Generalizada, y una tabla en la que se muestran los valores de las funciones de densidad y distribución (Figura 13).

PASO 7. Visualización de la información a través de gráficos

Con excepción del cálculo de estadígrafos, todas las tablas anteriores pueden ser visualizadas en forma de gráficos para facilitar su comprensión. Para ello el usuario solo debe elegir la ventana de gráfico a partir de un botón en la parte superior derecha (Figura 14).